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A multicolinearidade é um problema no ajuste do modelo que pode causar impactos na estimativa dos parâmetros. Podemos diagnosticar Multicolinearidade por meio do VIF (Variance Inflation Factor).

3.6.2.1 VIF

Os elementos da diagonal principal de $ (X'X)^{-1} $ são também úteis para detectar multicolinearidade. O j-ésimo elemento da diagonal principal $ (X'X)^{-1} $, $ C_{jj} $ pode ser escrito como

$$C_{jj}=(1-R^2_j)^{-1},~~~~~~~~j=1,...,p.$$

em que $ R_j^2 $ é o $ R^2 $ da regressão de $ X_j $ sobre as outras variáveis explicativas.

$ C_{jj} $ é chamado de fator de inflação da variância e outra notação usada é $ VIF_j $. Assim, o $ VIF_j $ é dado por

$$VIF_j=\frac{1}{1-R^2_j}.$$

Verificamos que $ VIF_j $ mede o quanto a variância do coeficiente $ \hat{\beta}_j $ é inflacionada por sua colinearidade.

Geralmente, o VIF é indicativo de problemas de multicolinearidade se VIF>10.

Exemplo 3.6.2.1

Ainda considerando o exemplo na "Motivação 2", vamos calcular o VIF das variáveis Dose e Tempo.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

  • Cálculo do VIF da variável Tempo:

O $ R^2 $ da variável Tempo considerando Dose de íons como variável explicativa é 0,000007. Assim, o VIF da variável Tempo é

$$VIF=\frac{1}{1-0,000007}=1,000007.$$

  • Cálculo do VIF da variável Dose de íons

O $ R^2 $ da variável Dose de íons considerando Tempo como variável explicativa é 0,000007. Assim, o VIF da variável Dose de íons é

$$VIF=\frac{1}{1-0,000007}=1,000007.$$

Observe que os valores do VIF para as duas variáveis é o mesmo. Isso acontece pois o VIF mede a correlação da variável com todas as outras do modelo. Como temos apenas essas duas variáveis no modelo ajustado, obviamente o VIF das duas é o mesmo.

Como o VIF é menor do que 10, não temos o problema de multicolinearidade no exemplo da "Motivação 2".

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.